Giả sử \(z=a+b i\), ta có \(z^{2}=(a+b i)^{2}=a^{2}-b^{2}+2 a b i\).
Số phức \(z^{2}\) có điểm biểu diễn nằm trên trục tung khi \(a^{2}-b^{2}=0 \Leftrightarrow a= \pm b\).
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường phân giác góc phần tư (I), (III) và đường phân giác góc phần tư (II), (IV).